الف. چیستی و تعریف ریاضیات:

طبقه بندی های مختلفی برای از علوم ارائه شده، ولی ساده ترین و کلی ترین آنها این است که علوم به سه دسته بزرگ به شرح زیر تقسیم می شوند:[1]

1. علوم ریاضی: که موضوعشان اندازه گیری مقادیر است.

2. علوم شیمی و فیزیک و طبیعی: که از خواص کلی ماده و از کیفیات مربوط به حیات بحث می کنند.

3. علوم اخلاقی: که موضوعشان انسان است. هدف این دسته از علوم این است که هویت فعلی و هویت غایی بشر را مکشوف می دارد؛ یعنی معلوم می کند آدمی چیست و چه باید باشد.

مزیت این طبقه بندی بر سایر طبقه بندی ها این است که با هیچ یک از آنها منافات ندارد.

اگر موضوع را ملاک تعریف بدانیم، در مورد تعریف ریاضیات باید گفت: ریاضیات دانشی است که در مورد معقولات ثانی ریاضی بحث می کند. مراد از معقولات ثانی ریاضی، مفاهیم درجه دومی است که در حوزه کمیت و مقدار و بر اساس آن شکل می گیرند از قبیل عدد، مجموعه، بعد، پیوستگی، شکل و ... . به بیان دیگر، ریاضیات از معقولات ثانی ریاضی و مشتقات، قیود، ملحقات و منتزعات (بی واسطه یا باواسطه) آنها بحث می کند.[2]

ریاضیات یا انگارش[3] را بیشتر دانشِ بررسی کمیت‌ها و ساختار‌ها و فضا و دگرگونی تعریف می‌کنند. دیدگاه دیگری ریاضی را دانشی می‌داند که در آن با استدلال منطقی از اصول و تعریف‌ها به نتایج دقیق و جدیدی می‌رسیم.

در مورد جنس منطقی قضایا و گزاره های ریاضی دیدگاه‌های دیگری نیز در فلسفه ریاضیات بیان شده‌است؛ اهم آنها عبارت اند از:

1. افلاطون: معرفت ریاضی دارای خاصیت پیشینی(مقدم بر تجربه) است.

2. کانت: ریاضیات علم ترکیبی پیشینی است.

3. راسل: تحلیلی بودن محض ریاضیات.

برتراند راسل زمانی که درباره «اصل موضوعی» سخن می‌گفت که در آن برخی ویژگی‌های یک ساختار (که چیزی از آن نمی‌دانیم) فرض می‌شود و پیامدهای این فرض از راه منطق نتیجه‌گیری می‌شود، گفت:«ریاضیات را می‌توان رشته‌ای تعریف کرد که در آن نه معلوم است از چه سخن می‌گوییم و نه می‌دانیم آنچه‌که می‌گوییم صحت دارد».

4. فلاسفه ریاضی جدید: با نظر کانت در تحلیلی نبودن ریاضی موافق نیستند.[4]

5. جان فون نویمن: «ما در ریاضیات مطالب را نمی‌فهمیم، بلکه تنها به آنها عادت می‌کنیم».[5]

ب. چیستی و تعریف روش ریاضی:

مجموعه راه ها و قواعدی که در هر علم بکار می رود، طریقه یا روش آن علم نام دارد.[6] در هر روشی دو چیز متمایز تشخیص داده می شود: یکی مبادی یا اصول و دیگری استدلال.

مبادی و اصول در علوم ریاضی عبارت اند از:

1. علوم متعارفه: علم متعارف یا اصل تعارف قضیه ای است خود به خود بدیهی که نسبتی ضروری را بین مقادیر نامعین بیان می کند. از آن جا که فقط قضایای تحلیلی هستند که خود به خود بدیهی اند، علوم متعارفه ریاضی همه تحلیلی خواهند بود.[7]

2. اصول موضوعه: حقایقی هستند که مقبولیت عامه دارند، ولی بداهت و وجوب اصول متعارفه در آنها نیست.

3. تعاریف: تعریف قضیه ای است که ذاتیات یا ماهیت چیزی را برساند. تعاریف ریاضی مولود فکر بشرند و از این رو «وضعی» خوانده می شوند.[8]

استدلال ریاضی عبارت است از برهان؛ یعنی قیاسی که مقدماتش از قضایای لزومی یا ضروری ترکیب شده باشد. قضیه لزومی آن است که نسبت موضوع به محمول قابل انفکاک نباشد، مانند: «خدا داناست».[9]

ج. روش ریاضی دکارت (ریاضیات عام):

1. زمینه فکری دکارت

دکارت نه تنها براین عقیده بود که بدون هیچ تردیدى میان همه علوم به لحاظ داشتن قاطع ترین براهین، باید مقام اول را به ریاضیات بدهیم، بلکه معتقد بود تنها معرفت ریاضى ضرورى است و تنها مى توان نام «معرفت» را به ریاضیات اطلاق کرد و در راه پژوهش براى یافتن شاه راه حقیقت، نباید خود را به چیزى سرگرم نمود که نتایج آن در قطع و یقین از نتایج و براهین حساب و هندسه کم تر باشد. دکارت این آموزه ها را از استاد خود، کلاویوس، دریافت داشت، ولى آن را به طریقه انتقادى به کار گرفت. در سراسر دانشکده های یسوعیان، مرجع بزرگ در علوم ریاضی کلاویوس بود[10]. آشنایی با اسحاق بیکمان نیز تأثیر مهمی بر افکار دکارت داشت. اما در این بین حادثه بسیار مهمی هم روی داد که علت شتابزدگی بارز او را در امر نتیجه گیری، معلوم می سازد. دکارت که در فکر یکی‌ساختن همه علوم بود، در شب دهم نوامبر ۱۶۱۹ سه رؤیای امیدبخش دید و آنها را چنین تعبیر کرد که «روح حقیقت او را برگزیده و از او خواسته تا همه دانش‌ها را به صورت علم واحدی درآورد». رؤیاها به قدری او را مشعوف ساخت، که نذر کرد تا مقبرهٔ حضرت مریم را در ایتالیا زیارت نماید. وی چهار سال بعد به نذر خود وفا کرد.[11] این تجربه شبه عرفانی، به کشف قواعد چهارگانه ریاضیات عام منجر شد که طبق ادعای او مبنای همه روش های علمی است و رعایت آنها در هر گونه تحقیق علمی ضرورت دارد.[12]

2. دستورهای چهارگانه دکارت

از آن جا که ریاضیات برای خود یک سلسله قواعد و پیش فرض ها دارد، دکارت نیز برای منطق جدید خویش قواعدی بنا نمود. او در بخش دوم رساله «گفتار در روش درست راه بردن عقل»، اصول و اساس روش خود را به چهار قاعده[13] محدود نمود که آن چهار قاعده عبارت اند از:

قاعده اول (بداهت): «نباید هیچ چیزی را به عنوان حقیقت پذیرفت مگر اینکه روشن و بدیهی باشد؛ یعنی وجدان آن را به شهود دریابد».

قاعده دوم (تحلیل): «باید هر یک از مسائل و مشکلات را تا آن جا که ممکن است و برای بهتر حل کردن آن ضرورت دارد به اجزای خودش تجزیه کرد و هر یک را جداگانه مورد بررسی قرار داد».

قاعده سوم (ترکیب): «باید افکار خود را به ترتیب به کار انداخت و از ساده ترین و آسان فهم ترین امور آغاز کرد و به تدریج خود را به معرفت پیچیده ترین و مرکب ترین آنها رسانید».

قاعده چهارم (شماره امور و استقصا): «شماره امور باید چنان کامل و بازدید مسائل چنان کلی و جامع باشد که اطمینان حاصل شود چیزی از نظر دور نمانده و فراموش نشده است. این قاعده دنباله و نتیجه سه قاعده اول است».

3. تفاوت روش دکارت با روش فرانسیس بیکن

نزد دکارت، ریاضیات اعتبار خاصى داشت. او شدیداً به یقینى بودن ریاضیات اعتقاد داشت و پذیرفته بود که هدف علم باید توسعه فنون گوناگون و به کار بردن آن براى رفاه بشر باشد. او نه تنها همچون بیکن به فکر احیاى علوم زمانه خود بود، بلکه مى خواست طرحى نو دراندازد و علم را به نهایت استوارى و دقت برساند. از همین رو، او فقط نمى خواست به اصلاح شیوه کسب علم دست بزند، بلکه کار دیگر او دقیق کردن علم بود. همزمان با او فیلسوف انگلیسی، فرانسیس بیکن درصدد بود تا شیوه قدما و متأخران را کنار بگذارد؛ زیرا به زعم وى در شیوه ایشان، معلومات جدیدى حاصل نمى شود. روشى که بیکن براى کسب معلومات به کار برد روش تجربه، مشاهده و آزمایش بود که در آن به تجربه و استقراء مشاهدات توجه شایسته مى شد و در این روش، معلومات را به طور کامل به صبغه تجربه و مشاهدات تجربه عینى مى برد و به همین لحاظ، روش او به کار علوم طبیعى مى آمد. دکارت بر آن بود که روش کسب معلومات باید به تمام حوزه هاى معرفتى بسط داده شود. در روش بیکن، حواس آدمى روزنه ورود داده هاى مشاهده پذیر بود و معرفت آدمى از طریق استقراى مشاهدات، حاصل مى شد. معرفت آدمى از جهان خارج به دست مى آمد و او با مشاهده و استقرا، به معرفت جدید نایل مى گردید. این در حالى بود که دکارت با قایل شدن تقدم براى عقل در برابر تجربه، همه چیز را از خود فکر یا ذهن آغاز مى کرد. هدف دکارت عقلانى کردن معرفت و علم آدمى و دادن جهت عقلى به معلومات و کسب معرفت یقینى بود. و از آن جا که دکارت به یقینى بودن ریاضیات اعتقاد تام داشت و ریاضیات را حد اعلاى معرفت آدمى مى دانست، معتقد بود معرفت به دست آمده از آن ضرورى است و فکر مى کرد که در کسب معلومات جدید، باید به روش علماى ریاضى عمل کرد.[14]

نزد دکارت، چون علم و معرفت آدمى را جایى جز عقل نیست، پس همه علوم به هم مربوط اند و علوم گوناگون در واقع یک علم هستند. راه کسب آنها هم یکى بیش نیست، و آن روش ریاضى است. او این روش را «ریاضیات عام»[15] نامید. البته عنوان «ریاضیات عام» نه بدان معنا است که تنها ریاضیات علم است، بلکه در حل مسائل گوناگون علوم، باید از روش ریاضى استفاده کرد.[16] در واقع آنچه در فلسفه دکارت ریاضیات عمومى نامیده مى شد، تعمیم هندسه تحلیلى دکارت بر تمام جوانب معرفت آدمى است. او نشان مى دهد که «روش» اصلى ترین دغدغه او در بسط هندسه و تأسیس ریاضیات عمومى است؛ همان روشى که حاصل «شک دستورى»، التفات خاص او به یقینى بودن معرفت ریاضى و ضرورى بودن آن در روش کسب معلومات جدید است.[17]

4. شک دکارتی

از لحاظی می توان شک را به دو قسم[18] تقسیم کرد: یکی شک های مزاجی؛ یعنی شک هایی که از روحیه شخص ناشی می شود. چنین اشخاصی به علل و عوامل مختلف ژنتیکی و تربیتی افراد شکاکی هستند.

شک دیگر «شک دستوری» است که در این شک، شخص شک کننده می خواهد به یقینی برسد و می بیند برای دسترسی به این علم خوب است همه چیز را در معرض شک بداند و بعد ببیند آیا از این ویرانه چیزهای سالمی بیرون می آید یا خیر؟ شک دستوری شکی است که در آن به تعبیر مرحوم مطهری شک یک جایگاه نیست، بلکه یک معبر است. شک دکارتی هم از این جهت که روشی برای رسیدن به یقین است، یک شک دستوری و روش شناختی است. دکارت وقتی در دوازده مرحله به همه چیز شک کرد، گفت: من اگر در همه چیز شک دارم در این شک خودم شک ندارم. پس یک قضیه برای دکارت وجود دارد که دیگر در آن شک ندارد و آن قضیه «شک می کنم» یا «شک دارم» است. وی این یقین را سنگ زیربنای همه یقینیات قرار می دهد و نتیجه می گیرد، پس باید در وجود شک کننده نیز شک نداشته باشم؛ زیرا شک بدون شک کننده امکان ندارد. این استدلال را که اولین استدلال دکارت است معمولا تحت این عنوان می آورند که ergo sum  cogito یا «می اندیشم پس هستم». باید گفت از زمان دکارت به این طرف مجموعه حالات نفسانی( قوای نفسانی، انفعالات نفسانی، افعال نفسانی) را به «اندیشه» تعبیر می کنند. اندیشه در کلمات دکارت به یکی از حالات نفسانی؛ یعنی شک دلالت دارد و مراد او یکی از مصادیق اندیشه است.[19]

د. سنجش صحت روش ریاضی دکارت:

به قطعیت و خطاناپذیری روشی که دکارت در پیش گرفته بود، نقدهایی جدی وارد است که در زیر به برخی از آنها اشاره می شود:

1. قطعیت، صحت، یقین صد در صدی و خطاناپذیری نظام های معنایی، مفاهیمی هستند که در جهانبینی ها یا انتولوژی های مختلف، بار ارزشی و مفهومی متفاوتی دارند. درباره خطاناپذیری تمامی روش ها و منطق ها و نظام های معنایی من جمله روش ریاضی دکارت در فلسفه، به طور کلی سه مبنا[20] وجود دارد:

1-1. وحدت گرایی: فقط یک نظام صحیح و خطاناپذیر از منطق وجود دارد.

1-2. کثرت گرایی: بیش از یک نظام صحیح و خطاناپذیر از منطق وجود دارد.

1-3. ابزارگرایی: هیچ نظام «صحیحی» از منطق وجود ندارد؛ مفهوم صحت و خطاناپذیری مفهومی نامناسب است.

پرواضح است که سنجش میزان صحت و خطاناپذیری روش دکارت با هر یک از این مبانی به نتایج مختلفی منجر خواهد شد. همچنین با توجه به تعاریفی که درباره ریاضیات ارائه شد، برخی از منطق دانان، فیلسوفان و ریاضی دانان معاصر اساساً قطعیت ریاضیات را زیر سؤال می برند.

2. با همه اختلاف نظرهایی که در باب ماهیت گزاره های ریاضی وجود دارد، حتی به فرض پذیرش مدعیات دکارت مبنی بر متقن بودن علوم ریاضی و امکان خطاناپذیری یک یا چند نظام معنایی، باز خطا بودن روش دکارت حتی در زمان خودش برای بسیاری از همعصرانش امری واضح و مبرهن بود. اسپینوزا بعدها روشی به کار بست که از روش دکارت هم هندسی تر بود و با این همه به نتایجی رسید که با نتایج دکارت فرقی فاحش داشت، لاک هم پایه های مکتب دکارت را از بن برانداخت و فرانسه قرن هجدهم را با فلسفه رسمی تازه ای تجهیز کرد. بدتر از همه اینکه حتی بخش علمی مکتب دکارت هم به زودی محکوم به تباهی و اضمحلال شد.[21] در هر حال ما این جا به طور مبنایی خطا بودن مدعای دکارت را ثابت می کنیم.

مدعای دکارت: در فلسفه همه چیز باید به شیوه ریاضی اثبات شود، مگر تنها همین یک اصل که: «هر چیز می تواند - و باید – به شیوه ریاضی اثبات شود».[22]

نقد: همه متفق القولند که ریاضیات بر خلاف علوم فیزیک و شیمی و طبیعی که موضوعشان ماده است و علوم اخلاقی که موضوعشان انسان است، با کمیت ها سروکار دارد. حال این سؤال پیش می آید که دکارت چگونه ادعا می کند، روش ریاضی را – به عنوان متقن ترین روش - به تمامی علوم تعمیم دهد؟ این معضل خصوصا آنجا برجسته می شود که با روش ریاضی سراغ علوم اخلاقی و متافیزیکی و فلسفی برویم که با کیفیات سروکار دارند.

3. مطلب به این جا ختم نمی شود؛ زیرا اگر همه علوم به جهت اتحاد در روش عمومی و کلی، یکی بیش نیستند، لازم بود که دکارت همه را بداند، آن هم با یقین مطلق. همچنین این روش که در درون ریاضیات بوجود آمده بود، می بایست نتایجی به بار آورد که در درستی همپایه نتایج ریاضی باشند.[23]

4. دکارت مجبور بود برای دفاع از خود در برابر این انتقادات، روش ابداعی خود را «ریاضیات عام» بنامد. اما این نام گذاری و ارائه تعریفی شخصی از ریاضیات مشکلی را حل نمی کند. یقین دکارت در روش خطای خود به حدی بود که هیچ چیز نمی توانست او را متوجه کند که بی اعتنایی کلی به حقوق «موضوع» علم، در واقع راه صدفه و اتفاق پیش گرفتن است. ریاضیات در هر جایی چیزی برای گفتن دارد، زیرا کمیت در همه جا هست یعنی نه تنها در طبیعیات و زیست شناسی بلکه دست کم بطور غیر مستقیم در جامعه شناسی و اخلاق نیز. برای نمونه آمار نقش مهمی در علوم اجتماعی و اخلاقی ایفا می کند. اما اگر یک گام فراتر رویم و موضوع مخصوص ریاضیات را از ریاضیات بگیریم، به علم همبستگی نظم و ترتیب میان همه اشیاء ممکن تبدیل می شود. ولی در این صورت آیا بازهم ریاضیات است یا منطق؟ دکارت روشی را که از هندسه، جبر و منطق به دست آورده بود «ریاضیات عام» نامید و با این کار به خود وعده می داد که همه مشکالات را با عنوان «تقریبا همه مشکلات ریاضی» بررسی کند، گویی بساطت کامل موضوع ریاضیات، هیچ گونه تأثیری در بداهت نتایج آن ندارد، با آنکه بداهت ریاضیات به دو چیز بستگی دارد: یکی عمومیت کاملاً انتزاعی ریاضیات و دیگر طبیعت خاص موضوع آنها. روش ریاضی را از آن جهت که ریاضیات کلیت تام دارد می توان به صورتی نامحدود تعمیم داد اما اگر بخواهیم ضرورت و بداهت داشته باشد نمی توان آن را یکسان به همه موضوعات ممکن توسعه داد.[24]

5. در کتاب «تأملات» دکارت شکّش را در دوازده مرحله تدوین کرد. وقتی مرحله دوازدهم به پایان رسید، دیگر همه چیز در نظر او در معرض شک واقع شد. این دوازده مرحله در تأمل اول دکارت آمده است. از ابتدای تأمل دوم یقین ها ظاهر شدند، ولی از آنجا که استدلال وی در تأمل اول بر شک ها قوی است و استدلال وی بر یقین ها در تأمل دوم ضعیف است، گفته اند همین مسأله سبب رواج شکاکیت شد. لذا امروزه در کتاب های معرفت شناسی، عموم شکاکان معرفت شناس وقتی می خواهند شکاکیت خود را موجه کنند به تأمل اول دکارت استناد می کنند، چون واقعاً در تأمل اول به قوت هر چه تمامتر شک را در همه چیز سریان داده است، ولی استدلالات وی را در یقین ضعیف می دانند. به خصوص دیوید هیوم خوب نشان داد که بخش دوم «تأملات» بسیار ضعیف است[25].

هـ . نتیجه:

تلاش دکارت در جهت دست یافتن به بنیانی متقن برای علوم به خصوص الاهیات و متافیزیک، در واکنش به موج شگ گرایی (مذهب شک) که اروپای آن روز را فراگرفته بود، تلاشی در خور تحسین و ستایش است، اما دلایلی که آورده شد ثابت می کنند، نه تنها روش ریاضی دکارت خطاپذیر است، بلکه روشی ناکارآمد، غیرضرور و به لحاظ منطقی نادرست محسوب می گردد. در واقع دکارت در جست و جوی راه حلی برای معضل شک، نه تنها نتوانست این معضل را حل نماید، بلکه تحقیقات او دو نتیجه منفی عمده به بار آورد: یکی دامن زدن به نوعی ایده آلیسم و ذهن گرایی افراطی، و دیگری ترویج شکاکیت در مقیاسی گسترده و مدلل نمودن آن.